Równania – Nauka cz. II

Metoda równań równoważnych

Metoda polegająca na przekształcaniu równania w taki sposób, aby każde kolejne było równoważne danemu i łatwiejsze do rozwiązania nazywa się metodą równań równoważnych.

**********

Stosując metodę równań równoważnych, możemy

  • Obie strony pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę (lub to samo wyrażenie).
  • Do obu stron dodać taką samą liczbę lub to samo wyrażenie.
  • Od obu stron odjąć tę samą liczbę lub to samo wyrażenie.
  • Po każdej ze stron wykonać przekształcenie - zredukować wyrazy podobne, opuścić nawiasy

**********

Rozwiązywanie w praktyce - A.

Obie strony równania możemy podzielić przez tę samą liczbę różną od zera
W równaniu \[{\color{#0000B3}{4}}x = 12\] obie strony musimy podzielić przez liczbę przy x czyli przez \({\color{#0000B3}{4}}\), co zapisujemy \[{\color{#0000B3}{4}}x = 12 \quad \bigl/ : {\color{#0000B3}{4}}\] Po wykonaniu tej czynności równanie przyjmie postać \[\frac{{\color{#0000B3}{4}}x}{{\color{#0000B3}{4}}} = \frac{12}{{\color{#0000B3}{4}}} \]Ostatecznie \[x = 3\]

**********

Rozwiązywanie w praktyce - A.

Obie strony równania możemy podzielić przez tę samą liczbę różną od zera
W równaniu \[{\color{#0000B3}{-3}}x = 12\] obie strony musimy podzielić przez liczbę przy x czyli przez \({\color{#0000B3}{-3}}\), co zapisujemy \[{\color{#0000B3}{-3}}x = 12 \quad \bigl/ : {\color{#0000B3}{(-3)}}\] Po wykonaniu tej czynności równanie przyjmie postać \[\frac{{\color{#0000B3}{-3}}x}{{\color{#0000B3}{-3}}} = \frac{12}{{\color{#0000B3}{-3}}} \] Ostatecznie \[x = -4\]

**********

Rozwiązywanie w praktyce - A.

Obie strony równania możemy pomnożyć przez tę samą liczbę różną od zera
W równaniu \[{\color{#0000B3}{\frac{3}{5}}}x = 12\] obie strony musimy podzielić przez liczbę przy x czyli przez \({\color{#0000B3}{\frac{3}{5}}}\), a podzielić przez \({\color{#0000B3}{\frac{3}{5}}}\) to znaczy pomnożyć przez odwrotność czyli \({\color{#0000B3}{\frac{5}{3}}}\) co zapisujemy \[{\color{#0000B3}{\frac{3}{5}}}x = 12 \quad \bigl/ \cdot {\color{#0000B3}{\frac{5}{3}}}\] Po wykonaniu tej czynności równanie przyjmie postać \[\require{cancel} {\color{#0000B3}{\frac{\cancel3}{\cancel5} \cdot \frac{\cancel5}{\cancel3}}x} = {\color{#0000B3}{\frac{5}{\cancel{3}_1}}} \cdot \cancel{12}^4 \] Ostatecznie \[x = 20\]

**********

Rozwiązywanie w praktyce - A.

Do obu stron równania możemy dodać taką samą liczbę.
W równaniu \[ x {\color{#CC6600}{ - 5}} = 7\] do obu stron musimy dodać liczbę 5, co zapisujemy \[ x {\color{#CC6600}{ - 5}} = 7 \quad \bigl/ {\color{#CC6600}{+5}}\] Po wykonaniu tej czynności równanie przyjmie postać \[ x {\color{#CC6600}{ - 5 + 5}} = 7 {\color{#CC6600}{ + 5}}\] Ostatecznie \[x = 12\]

W skrócie: \[ x {\color{#CC6600}{ - 5}} = 7 \tag{dane równanie}\] \[ x {\color{#CC6600}{ - 5}} = 7 \quad \bigl/ {\color{#CC6600}+{5}}\tag{informacja o dodaniu 5}\] \[x = 12 \tag{po obliczeniach}\]

**********

Rozwiązywanie w praktyce - A.

  • Od obu stron równania możemy odjąć taką samą liczbę.
  • Obie strony równania możemy podzielić przez tę samą liczbę.
\[ 7x {\color{#CC6600}{ + 4}} = 25 \tag{dane równanie}\] \[ 7x {\color{#CC6600}{ + 4}} = 25 \quad \bigl/ {\color{#CC6600}{-4}}\tag{informacja o odjęciu 4}\] \[ {\color{#0000B3}{7}}x = 21 \tag{po obliczeniach}\] \[ {\color{#0000B3}{7}}x = 21 \quad \bigl/ {\color{#0000B3}{:7}}\tag{informacja o dzieleniu przez 7}\] \[x = 3 \tag{rozwiązanie}\]

**********

Rozwiązywanie w praktyce - A.

  • Od obu stron równania możemy odjąć takie samo wyrażenie (jednomiany z niewiadomą grupujemy po lewej stronie, liczby po prawej)
  • Obie strony równania możemy podzielić przez tę samą liczbę.
\[ 5x - 4 = 3x+4 \tag{dane równanie}\] \[ 5x {\color{#CC6600}{ - 4}} = {\color{#CC6600}{3x}}+6 \quad \bigl/ {\color{#CC6600}{-3x+4}}\tag{równanie + informacja}\] \[ 2x = 10 \tag{po obliczeniach}\] \[ {\color{#0000B3}{2}}x = 10 \quad \bigl/ {\color{#0000B3}{:2}}\tag{informacja}\] \[x = 5 \tag{rozwiązanie}\]

**********

Rozwiązywanie w praktyce - B.

  • Po każdej ze stron wykonujemy przekształcenie (opuszczenie nawiasów)
  • Po każdej ze stron wykonujemy przekształcenie (redukcja)
  • Od obu stron równania możemy odjąć takie samo wyrażenie (jednomiany z niewiadomą grupujemy po lewej stronie, liczby po prawej)
  • Obie strony równania możemy podzielić przez tę samą liczbę.
\[ 6(2x - 4) - 5x = 3(x+2)+14 \tag{dane równanie}\] \[ {\color{#D9006C}{6(2x - 4)}} - 5x = {\color{#D9006C}{3(x+2)}}+14 \tag{część przekształcana}\] \[ {\color{#D9006C}{12x - 24}} - 5x = {\color{#D9006C}{3x+6}}+14 \tag{po przekształceniu}\] \[ {\color{#00B32D}{12x}} - 24 {\color{#00B32D}{- 5x}} = 3x{\color{#00B32D}{+6+14}} \tag{do redukcji}\] \[ 7x {\color{#CC6600}{- 24}} = {\color{#CC6600}{3x}} +20 \quad \bigl/ {\color{#CC6600}{-3x+24}}\tag{po redukcji + inform.}\] \[ {\color{#0000B3}{4}}x = 44 \quad \bigl/ {\color{#0000B3}{:2}}\tag{po obliczeniach + inform.}\] \[x = 11 \tag{rozwiązanie}\]

**********

Rozwiązywanie w praktyce - B.

  • Po każdej ze stron wykonujemy przekształcenie (opuszczenie nawiasów [uwaga na znak –])
  • Po każdej ze stron wykonujemy przekształcenie (redukcja)
  • Od obu stron równania możemy odjąć takie samo wyrażenie (jednomiany z niewiadomą grupujemy po lewej stronie, liczby po prawej).
\[ -(3s - 1) + s = 4 - 3(s-5) \tag{dane równanie}\] \[ {\color{#D9006C}{-(3s - 1)}} +s = 4 {\color{#D9006C}{-3(s-5)}} \tag{część przekształcana}\] \[ {\color{#D9006C}{-3s + 1}} + s = 4 {\color{#D9006C}{-3s+15}} \tag{po przekształceniu}\] \[ {\color{#00B32D}{-3s}} + 1 {\color{#00B32D}{+s}} = {\color{#00B32D}{4}}-2s {\color{#00B32D}{+15}} \tag{do redukcji}\] \[ -2s {\color{#CC6600}{+1}} = {\color{#CC6600}{-3s}} +19 \quad \bigl/ {\color{#CC6600}{+3s-1}}\tag{po redukcji + inform.}\] \[s = 18 \tag{rozwiązanie}\]

**********