Równania – Nauka cz. I

Do czego służą równania?

Równania służą do zapisywania i rozwiązywania wielu zagadnień i problemów z matematyki, fizyki oraz innych dziedzin wiedzy.

**********

Równość

Jeśli pomiędzy dwoma wyrażeniami arytmetycznymi wstawimy znak równości otrzymujemy równość. O równości zawsze możemy powiedzieć czy jest prawdziwa czy fałszywa.
Na przykład równość \(2 \cdot 4 + 3 = 10 \) jest równością fałszywą [w matematyce mówimy, że jest zdaniem fałszywym]. O równości \(2 \cdot 4 + 3 = 11 \) powiemy, że jest równością prawdziwą [zdaniem prawdziwym].

**********

Równanie

Wstawienie znaku równości pomiędzy dwa wyrażenia algebraiczne nie pozwala nam stwierdzić czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe.
To czy zdanie (równość) \(3x + 2 = x + 10\) jest prawdziwe zależy od liczby, którą wstawimy w miejsce x.
Jeśli wstawimy 1, to równość \(3 \cdot 1 + 2 = 1 + 11\) jest fałszywa.
Gdy wstawimy za x 4, to równość \(3 \cdot 4 + 2 = 4 +10\) jest prawdziwa.

**********

Liczba spełniająca równanie

Każdą liczbę spełniającą dane równanie nazywamy rozwiązaniem równania (lub pierwiastkiem równania).
Innymi słowami:
Pierwiastkiem równania nazywamy każdą liczbę, która wstawiona w miejsce niewiadomej zmienia równanie w zdanie prawdziwe.
W powyższym przykładzie liczba 4 jest pierwiastkiem równania.

**********

Co to znaczy rozwiązać równanie?

Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć wszystkie jego pierwiastki (liczby, które je spełniają) lub uzasadnić, że ich nie ma.

W praktyce rozwiązać równanie I stopnia z jedną niewiadomą, to znaczy doprowadzić w wyniku przekształceń do postaci \({\color{Blue}{x = liczba}} \) jeśli x w równaniu oznaczało niewiadomą. Niemożność doprowadzenia do takiej postaci oznacza, że równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań lub żadnego.

**********

Umiejętności niezbędne do rozwiązywania równań:

  • sprawne wykonywanie działań na liczbach dodatnich i ujemnych,
  • redukowanie wyrazów podobnych,
  • opuszczanie nawiasów (zawsze),
  • wstawianie nawiasów (jeśli trzeba),
  • ustalenie jakie wyrażenie dodać do obu stron równania,
  • ustalenie przez jaką liczbę podzielić (pomnożyć) obie strony równania.
  • \({\color{LimeGreen}{4x}} - 5 + {\color{LimeGreen}{3x}} = {\color{LimeGreen}{7x}} - 5\),
  • \(5 \cdot (3x - 4) = 15x - 20, \quad -5 \cdot (3x - 4) = -15x + 20 \),
  • \(6 \cdot \frac{2x - 5}{3} = 2\cdot(2x - 5) \)
  • \(3x - 2 = x + 6 \; / -x + 2, \quad 3x - x = 6+2\)
  • \(5x = 15 /:5, \quad x = 3; \qquad -5x = 15 /:(-5), \quad x = -3 \)

**********

Błędy

\(\require{cancel}\)Nie potrafisz lub będziesz mieć poważne problemy, jeśli popełniasz poniższe błędy:
Obliczenie błędneObliczenie poprawne
\(x + x = x^2\)\(x + x = 2x\)
\(x \cdot x = 2x\)\(x \cdot x = x^2 \)
\(3x - x = 3\)\(3x - x = 2x\)
\(2(3x + 4) = 6x + 4\)\(2(3x + 4) = 6x + 8\)

Obliczenie \(\frac{6x}{6} = x\) musi być dla ciebie oczywiste.

**********

**********

**********