Proporcjonalność – Sprawdzian (R)

Wielkości wprost lub odwrotnie proporcjonalne

01. (0–2) Które spośród podanych par wielkości są wprost proporcjonalne, a które odwrotnie proporcjonalne?
a) Czas jazdy samochodem i ilość zużytego paliwa.
b) Średnia prędkość samochodu i czas jazdy.
c) Wiek człowieka i jego wzrost.
a) wielkości wprost proporcjonalne (im dłużej jedziemy tym więcej zużywamy paliwa);
b) wielkości odwrotnie proporcjonalne (jeśli wzrasta prędkość samochodu, to zmniejsza się czas jazdy);
c) żadna z nich (nie ma zależności, że im starszy człowiek tym wyższy, ani im starszy tym niższy)
(w okresie wzrostu człowiek staje się wyższy, ale nie można stwierdzić, że jeśli jest 2 razy starszy to jest dwa razy wyższy).

Wielkości wprost lub odwrotnie proporcjonalne

02. (0–2) Uzupełnij tabelki, wiedząc, że:
a) wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne
x0,66
y3020

b) wielkości x i y są wprost proporcjonalne
x2,510
y3020
a) Jeśli wielkości są odwrotnie proporcjonalne, to ich iloczyn jest stały. Obliczamy go w kolumnie trzeciej: \(0,6 \cdot 20 = 12 \). W kolumnie drugiej \(30x = 12\), a więc \(x= \frac{12}{30}\), \(x = \frac{2}{5} \) lub w postaci dziesiętnej \(x=0,4\). W kolumnie czwartej: \(6y = 12\), \(y=2\).
b) Jeśli wielkości są wprost proporcjonalne, to ich iloraz jest stały. Obliczamy go w kolumnie trzeciej \(\frac{20}{2,5}=8\). W kolumnie drugiej \(\frac{30}{x} = 8\), \(8x=30\), a zatem \(x=\frac{30}{8}\), po skróceniu i wyciągnięciu całości \(x=3\frac34\). W kolumnie czwartej \(\frac{y}{10}=8\), \(y=80\).

Rozwiązywanie równań

03. (0–3) Rozwiąż równania: \[a) \; \frac{9}{x}=\frac37 \quad b) \; \frac{4}{x+1}=\frac{5}{x} \quad c) \; \frac{3,5-b}{5}=\frac{b}{2} \]
Są to równania w postaci proporcji. W proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych. A zatem powyższe równania możemy zapisać następująco:
a) \(3x=63\)
b) \(5x+5=4x\)
c) \(7-2b=5b\)

Rozwiązywanie zadań

04. (0–2) Na kotlety schabowe dla trzech osób gospodyni kupiła 42 dag schabu. Ile schabu musiałaby kupić dla 5 osób?
W zadaniu tym mamy do czynienia z wielkościami wprost proporcjonalnymi.

Ilość schabu:42x
Liczba osób:35

\(x=\frac{5\cdot 42}{3}, \quad x=70\)

Rozwiązywanie zadań

05. (0–2) W autokarze wycieczkowym są 52 miejsca dla uczniów. Gdyby na wycieczkę jechało 42 uczniów, każdy z nich zapłaciłby po 78 zł. Po ile wyniesie składka jeśli uczniowie zajmą wszystkie miejsca w autokarze?
W tym zadaniu mamy do czynienia z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.

Liczba uczniów:4252
Wysokość składki:78x

\(x=\frac{42\cdot 78}{52}, \quad x=63\)

Rozwiązywanie zadań

06. (0–2) Odległość między dwoma budynkami na mapie wynosi 5 cm, natomiast w rzeczywistości ta odległość wynosi 4 km. W jakiej skali sporządzona jest ta mapa?
Skala mapy to stosunek odległości na mapie do rzeczywistej odległości. W naszym przypadku (po zamianie kilometrów na centymetry) wynosi \(5:400 000\). Skala mapy wyrażona jest w taki sposób abyśmy wiedzieli jaka wielkość w rzeczywistości odpowiada jednemu centymetrowi na mapie. Możemy dokonać przekształcenia typu \(5:400000=\frac{5}{400000} = \frac{1}{80000}=1:80000\).Możemy posłużyć się proporcją:
Odległość na mapie:51
Odległość w terenie:400 000x

\(x=\frac{400000 \cdot 1}{5}, \quad x=80000 \), a zatem mamy stosunek 1 : 80 000, który jest właśnie skalą mapy.