Figury geometryczne – Sprawdzian (R)

Własności czworokątów

01. (0–1) Które z poniższych zdań jest prawdziwe?
A. W trapezie są dwie pary kątów równych.
B. Przekątne rombu są równe.
C. Przekątne prostokąta dzielą go na trójkąty równoramienne.
D. Suma dowolnych dwóch kątów równoległoboku jest równa 180?.

Prawidłowa jest odpowiedź C.
Odpowiedź A) byłaby prawdziwa gdyby trapez był równoramienny,
Odpowiedź B) jest prawidłowa dla prostokąta i kwadratu,
Odpowiedź D) jest prawdziwa dla dwóch kolejnych kątów równoległoboku (inaczej dla dwóch kątów leżących przy jednym boku).

Uzasadnienie

Przekątne prostokąta są równe i dzielą się na połowy, a zatem odcinki KO, LO, MO i NO są równe. Trójkąty: KLO, LMO, MNO i NKO są równoramienne.

Własności czworokątów

02. (0–1) Krótsza przekątna rombu dzieli go na dwa trójkąty:
A) równoboczne,
B) równoramienne,
C) prostokątne,
D) o kątach 50°, 50°, 80°.

Prawidłowa jest odpowiedź B). Dwa boki trójkąta są bokami rombu, a wszystkie boki rombu są równe. To co mamy w pozostałych odpowiedziach może się zdarzyć ale są to szczególne przypadki.

Własności trójkątów i czworokątów

03. (0–1) Dany jest prostokąt KLMN. Trójkąty KLN i LMN są:
A) przystające,
B) ostrokątne,
C) równoramienne,
D) równoboczne.

Prawidłowa odpowiedź: A). Ponieważ wymienione trójkąty są prostokątne, to wyklucza odpowiedzi B) i D). Gdyby ten prostokąt był kwadratem prawidłowa byłaby odpowiedź C).
Trójkąty są przystające na podstawie cechy np. bbb - boki prostokąta są parami równe (|KL| = |MN| i |KN| = |LM|), jeden bok jest wspólny (przekątna prostokąta).

Kąty

04. (0–1) Dwie proste równoległe przecięto innymi dwoma prostymi, jak na rysunku. Oblicz miarę kąta α.

Proste na rysunku wyznaczają trójkąt z kątem α. Jeden z kątów tego trójkąta tworzy parę kątów wierzchołkowych z kątem 63° (czyli ma 63°), a drugi wraz z kątem 110° tworzy parę kątów przyległych (czyli ma 180° - 110° = 70°).
63° + 70° = 133°, zatem na kąt α zostaje 180° - 133° = 47° (bo suma kątów trójkąta wynosi 180°).

Konstrukcje geometryczne

05. (0–2) Dany jest kąt rozwarty α i kąt ostry β. Skonstruuj kąt γ = 2α - β.

Rozwiązanie zadania.

  1. Rysuję półprostą SX;
  2. Z wierzchołków kątów α i β oraz z początku narysowanej półprostej kreślimy łuki o takim samym promieniu (na rysunku równym np. odcinkowi SK);
  3. Z punktu K, a następnie z otrzymanego punktu L, kreślimy łuki o promieniu |AB| (kąt MSK = 2α);
  4. Z punktu M kreślimy łuk o promieniu |CD| - otrzymujemy punkt N;
  5. Z punktu S prowadzę przez punkt N drugie ramię konstruowanego kąta.

Na rysunku szukany kąt jest oznaczony kolorem zielonym.

Kąty trójkąta

06. (0–2) Z wierzchołka M trójkąta MNO poprowadzono wysokość MP. Oblicz miary kątów trójkąta MNP

Ponieważ suma kątów trójkąta wynosi 180°, możemy obliczyć miarę kąta MNO.
|∢MNO| = 180° - (37° + 63°) = 80°.

∆MNP jest prostokątny. Stąd też miara ∢MNP wynosi 180° - (90° + 80°) = 10°.

Figury w układzie współrzędnych

07. (0–2) Narysuj w układzie współrzędnych czworokąt o wierzchołkach A = (-2,-2), B = (2,-2), C = (5,3) i D = (1,3). Oblicz jego pole.

Rozwiązanie zadania.

Czworokąt ABCD jest równoległobokiem, gdzie podstawa ma długość 4, a wysokość 5.
\( P = 4\cdot 5 = 20\).

Obliczanie pól i obwodów figur

08. (0–3) Oblicz pola i obwody figur:

Trapez:

\[P = \frac {(20 + 8)\cdot 7}{2} = 98 \] \[obw = 20 + 8 + 2 \cdot12 = 52 \]

Równoległobok: \[P = 7\cdot 8 = 56 \] \[obw = 2 \cdot6 + 2 \cdot7 = 26 \]

Obliczanie pól figur

09. (0–3) 1 m2 bieżnika kosztuje 42 zł. Szerokość jego wynosi 1,5 m. Czy 250 zł wystarczy na zakup 4 metrów bieżących?

4 metry bieżące, to \( 4 m \cdot1,5 m = 6 m^2 \). Kosztuje to \( 6 \cdot 42zł = 252zł \). Braknie 2 złote.

Obliczanie pól figur

10. (0–4) Cała działkę w kształcie trapezu prostokątnego o wymiarach przedstawionych na rysunku ma być obsadzona kwiatami. Na 1 m2 potrzeba 9 sadzonek. Ile sadzonek potrzeba do osadzenia tej działki?

Przed przystąpieniem do obliczeń musimy uzgodnić jednostki. Najsensowniejszym wyjściem będzie zamiana decymetrów na metry: 60 dm = 6 m. \[P = \frac{(5m + 3m)\cdot6m}{2} = 24 m^2 \] Należy zakupić sadzonek \(24 \cdot9 = 216 \).